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Publié : 2 novembre 2011

Une quadrature approchée du cercle

De nombreux mathématiciens ont proposé des constructions approchées du carré de coté \sqrt{\pi}.

Citons quelques approximations irrationnelles de π :

  • \sqrt{4+\left(3+\frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2} (Koshansky, 1865)
  • \frac12\,\left(2+\frac35 \right)\,\sqrt{1+\left( 2+\frac15\right)^2} (D. Specht, 1836)
  • \frac65\, \left( 1+\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) (Dixon, 1991)

Au passage, \sqrt{2}+\sqrt{3} , facile à construire, fournit \pi avec une erreur relative de 0,15%. Un bon exercice pour introduire le sujet.

La fameuse approximation rationnelle \pi\approx \frac{355}{113} peut aussi servir à la quadrature approchée du cercle.

Rappelons une petite nuance existant entre deux notions assez proches :

  • La quadrature du cercle consiste à construire un carré d’aire égale à celle du disque de rayon unité
  • La rectification du cercle consiste à construire un segment de longueur égale à la circonférence du cercle de rayon 1

Comme on peut construire facilement \sqrt{\alpha}} si \alpha est constructible et inversement, les problèmes de la quadrature et de la rectification sont équivalents.

Une construction, fournissant un segment de longueur \sqrt{\frac{355}{133}} aurait été proposée par Ramanujan en 1913. Cette construction est reprise par Jean-Claude Carrega dans « Théorie des Corps » (Ed. Hermann) et aboutit à la figure ci-dessous.

PDF

La description de la construction ainsi que les justifications se trouvent dans le fichier pdf joint.
Le fichier source TeX permettra aux amateurs de figures pgf-tikz d’examiner les différentes étapes de la construction.

On consultera également :

Circle squaring sur l’encyclopédie d’Eric Weinstein,

La quadrature du cercle sur Wikipédia

Documents joints