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Publié : 6 avril 2012

Le cône de révolution, facile à représenter ?

S’il est facile d’esquisser la représentation d’un cône droit en perspective (cavalière ou autre), on peut se demander si les choses sont aussi simples s’il s’agit d’obtenir une figure précise et paramétrable.

On peut se contenter de ceci...

... ce qui n’a rien de condamnable. Tout dépendant bien sûr des objectifs qu’on s’est fixés.

Fixons nous les nôtres !

Utiliser le package Tikz-pgf pour un rendu parfait,
Determiner le contour apparent du cône,
Tracer en option des parallèles (cercles parallèles à la base),
Tracer en option des génératrices,
A chaque étape, prendre soin des traits invisibles de la construction,
Veiller à ce que la figure soit entièrement paramétrable.

Contour apparent

Si le cercle de base apparaît sous la forme de l’ellipse $\mathcal{E}$ d’équation $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ et si le sommet du cône est, dans la représentation, le point $S(0,p)$ , quelles sont les équations des tangentes à $\mathcal{E}$ issues de $S$ ?

Ce petit exercice est rapidement résolu par un (bon) élève de 6ème.

Les pentes $m$ des tangentes $t_1$ et $t_2$ issues de $S$ se calculent en exigeant que le système suivant n’admette qu’une solution en $m$ :

$\left\{ \begin{array}{c c c} y&=&m\,x + p \\ b^2\,x^2+a^2\,y^2&=&a^2\,b^2 \end{array} \right.$

Notre élève trouve alors $m=\pm \frac{\sqrt{p^2-b^2}}{a}$ .

Soit $x_0 \ (x_0>0)$ l’abscisse du point de contact d’une des tangentes avec $\mathcal{E}$ . Le même bon élève trouvera que $x_0=\frac{a}{p}\cdot \sqrt{p^2-b^2\,}$ et de là, il obtiendra l’ordonnée $y_0$ en explicitant $y$ dans l’équation de $\mathcal{E}$ :
$y=\pm \frac{b}{a}\cdot \sqrt{a^2-x^2}$

Nous avons tout en main pour tracer le contour apparent : une ellipse, le sommet $S(0,p)$ et les points de contact $A(x_0,y_0)$ et $B(-x_0,y_0)$ des tangentes $t_1$ et $t_2$

Voici la partie de code qui trace le contour apparent :
c’est l’instruction \pgfpatharcto combinée à l’instruction \pgfsetdash qui permet de tracer un arc en pointillés pour la partie invisible [1].

\pgfsetlinewidth{0.5mm}
	\pgfsetstrokecolor{blue}
	\draw (A)--(S)--(B);

	\pgfpathmoveto{\pgfpoint{\x cm}{\y cm}}
	\pgfpatharcto{\a cm}{\b cm}{0}{1}{0}{\pgfpoint{-\x cm}{\y cm}}
	\pgfusepath{stroke}

	\pgfsetdash{{0.25cm}{0.15cm}}{0cm}
	\pgfpathmoveto{\pgfpoint{\x cm}{\y cm}}
	\pgfpatharcto{\a cm}{\b cm}{0}{0}{1}{\pgfpoint{-\x cm}{\y cm}}
	\pgfusepath{stroke}

Les parallèles

Pour tracer une famille de parallèles il suffit de reprendre, dans une boucle \foreach , la construction de l’ellipse de base en lui appliquant une homothétie centrée à l’origine suivie d’une translation verticale.

L’homothétie de centre $O$ a pour matrice $\left( \begin{array}{cc}i&0\\0&i\end{array}\right) \ (0<i<1)$ , ce qui dans le code se traduit par l’instruction :

\begin{scope}[cm={\i,0.0,0.0,\i,(0 cm,\r cm)}]

La translation qui suit l’homothétie est la translation de vecteur $\vec{t}\left( \begin{array}{c}0\\p(1-i)\end{array}\right)$

Les parties cachées sont gérées de la même manière que pour l’ellipse de base.

Les génératrices

La construction des génératrices est plus simple, il suffit de choisir des points sur l’ellipse de base et de les relier au sommet. Pour gérer les génératrices invisibles, il faut cependant recourir à un test. C’est pourquoi il est utile de calculer l’angle $\theta$ formé par la demi-droite $[OA$ avec l’axe des abscisses.

Un point $Z$ de l’ellipse de base a pour coordonnées $(a\,\cos \rho, b\,\sin \rho$ ). Si $\theta<\rho<(180^\circ-\theta)$ , alors la génératrice $ZS$ est cachée et est tracée en pointillés.

\pgfmathparse{and(\rho>\theta,\rho<\thetab)}
\let\unvis\pgfmathresult
	\ifnum\unvis=1
		\pgfsetdash{{0.2cm}{0.1cm}}{0cm}
	\else
		\pgfsetdash{}{0pt}
	\fi
	\draw (Z)--(S);

\pgfsetdash{}{0pt} rétablit le trait continu.

Le ET logique entre les expressions booléennes {x} et {y} est réalisé par l’instruction :

\pgfmathparse{and({x},{y})}
\let\z\pgfmathresult

Le résultat (true (1) ou false (0)) est placé dans la variable \z.

La figure complète...

La figure est entièrement paramétrée ce qui devrait permettre assez facilement d’écrire une macro [2] qui serait bien utile si on a plusieurs cônes à représenter dans un même document :

\def\a{5.0}%Parameters of the bottom ellipse
\def\b{2.5}% '' "
\def\p{8}%Height of apex S
\def\paral{1}%Flag: whith (1) or whitout (0) parallels?
\def\nbpar{5}% number of parallels
\def\gen{1}%Flag for generatrices
\def\nbgen{9}% number of gen
\def\innertri{1}%Flag for innertriangle

Avec ces valeurs des paramètres, on obtient la figure :

Le code complet

Voici enfin le code complet de la figure. On peut (et on doit) l’améliorer : la construction ne résiste pas au cas où, dans la perspective, le sommet $S$ est à l’intérieur de l’ellipse de base, ce qui correspond plus ou moins à une vue en plan du cône.

\documentclass[a4paper,12pt,oneside]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[top=2cm, bottom=1.5cm, left=2.5cm, right=2.0cm]{geometry}
\geometry{a4paper}
\usepackage{tikz}

\begin{document}

\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
  % Représentation d'un cône droit à base circulaire
  \def\a{5.0}%Parameters of the bottom ellipse
  \def\b{2.5}% '' "
  \def\p{8}%Height of apex S
  \def\paral{1}%Flag: whith (1) or whitout (0) parallels?
  \def\nbpar{5}% number of parallels
  \def\gen{1}%Flag for generatrices
  \def\nbgen{9}% number of gen
  \def\innertri{1}%Flag for innertriangle
  \coordinate (O) at (0,0);
  \coordinate (S) at (0,\p);
  \pgfmathparse{sqrt(\p*\p-\b*\b)/\a}	\let\m\pgfmathresult
  \pgfmathparse{\a*sqrt(\p*\p-\b*\b)/\p} \let\x\pgfmathresult
  \pgfmathparse{\b/\a*sqrt(\a*\a-\x*\x)}	\let\y\pgfmathresult
  \pgfmathparse{atan(\y/\x)} \let\theta\pgfmathresult
  \coordinate (A) at (\x,\y);% point de contact n°1 des tangentes issues de S
  \coordinate (B) at (-\x,\y);% point de contact n°2

  \fill[blue] (S) circle (1.5pt)node[above left]{S};
  \fill[blue] (O) circle (2pt)node[above left]{O};
  \draw[blue,dashed] (-\a,0)--(\a,0);

  \ifnum\innertri=1
    \def\alpha{310}%angle entre Ox et OQ
    \pgfmathparse{\a*cos(\alpha)} \let\xq\pgfmathresult{}
    \pgfmathparse{\b*sin(\alpha)} \let\yq\pgfmathresult{}
    \coordinate (Q) at (\xq,\yq);%Point sur le cercle (ellipse) de base
    \fill[blue] (Q) circle (2pt)node[below right]{Q};
    \fill[blue!15,draw=blue,opacity=0.6] (S)--(O)--(Q)--cycle;
    \draw[blue] (S)--(O)--(Q)--cycle;
  \fi

  \ifnum\paral=1
    \pgfsetlinewidth{0.2mm}
    \foreach \j in {1,...,\nbpar}{
       \pgfmathparse{1/(\nbpar+1)*\j} \let\i\pgfmathresult
       \pgfmathparse{\p-\i*\p} \let\r\pgfmathresult
      \begin{scope}[cm={\i,0.0,0.0,\i,(0 cm,\r cm)}]
        \pgfpathmoveto{\pgfpoint{\x cm}{\y cm}}
        \pgfpatharcto{\a cm}{\b cm}{0}{1}{0}{\pgfpoint{-\x cm}{\y cm}}
        \pgfusepath{stroke}
        \pgfsetdash{{0.2cm}{0.1cm}}{0cm}
        \pgfpathmoveto{\pgfpoint{\x cm}{\y cm}}
        \pgfpatharcto{\a cm}{\b cm}{0}{0}{1}{\pgfpoint{-\x cm}{\y cm}}
        \pgfusepath{stroke}
        \end{scope}
        }
  \fi

  \ifnum\gen=1
    \pgfmathparse{180-(\theta)} \let\thetab\pgfmathresult
    \foreach \i in {1,...,\nbgen}{
       \pgfmathparse{360/\nbgen*\i} \let\rho\pgfmathresult
      \pgfmathparse{\a*cos(\rho)} \let\xz\pgfmathresult{}
      \pgfmathparse{\b*sin(\rho)} \let\yz\pgfmathresult{}
       \coordinate (Z) at (\xz,\yz);
      \pgfmathparse{and(\rho>\theta,\rho<\thetab)}
      \let\unvis\pgfmathresult
      \ifnum\unvis=1
        \pgfsetdash{{0.2cm}{0.1cm}}{0cm}
      \else
        \pgfsetdash{}{0pt}
      \fi
      \draw (Z)--(S);
      }
  \fi

  \pgfsetlinewidth{0.5mm}
  \pgfsetstrokecolor{blue}
  \draw (A)--(S)--(B);

  \pgfpathmoveto{\pgfpoint{\x cm}{\y cm}}
  \pgfpatharcto{\a cm}{\b cm}{0}{1}{0}{\pgfpoint{-\x cm}{\y cm}}
  \pgfusepath{stroke}

  \pgfsetdash{{0.25cm}{0.15cm}}{0cm}
  \pgfpathmoveto{\pgfpoint{\x cm}{\y cm}}
  \pgfpatharcto{\a cm}{\b cm}{0}{0}{1}{\pgfpoint{-\x cm}{\y cm}}
  \pgfusepath{stroke}

\end{tikzpicture}

\end{document}

Un cas limite : le sommet $S$ apparaît sur l’ellipse de base.

Sur la représentation (animée) des quadriques, on consultera le site de Christophe Caigneart (Lycée Colbert, Tourcoing). En particulier, on lira la page consacrée aux cônes où le problème du contour apparent est traité dans toute sa généralité.

Documents joints

Document, PDF, 11.4 ko

Notes

[1] pour les nombreuses options de cette instruction, on consultera le manuel Tikz-pgf à la page 585

[2] La figure comporte huit paramètres et rappelons qu’une macro LaTeX peut compter jusqu’à neuf paramètres.

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