UREM-ULB :
Unité de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques

On peut lire en ligne sur le site de La Libre l’article de Guy Duplat

Toute la beauté des mathématiques

paru le 8 mai 2010.

« Si le Nobel des mathématiques existait, il l’aurait eu. Pierre Deligne aime “leur beauté”. S’il travaille à Princeton, il est Belge et était à l’ULB pour la rencontre des Nobel. Nous l’avons interrogé.
Entretien

Mercredi dernier, l’ULB fêtait ses 175 ans en réunissant treize prix Nobel ou équivalents. Si Christian de Duve est le seul Nobel belge en vie, Pierre Deligne serait le second si le prix suédois était accordé à sa discipline car il a reçu toutes les récompenses les plus prestigieuses : médaille Fields en 1978 (à 34 ans !) pour sa preuve de la conjecture de Weil, prix Crafoord, prix Balzan et, en 2008, le prix Wolf pour l’ensemble de ses travaux. Impossible de détailler ceux-ci, trop complexes, mais Pierre Deligne aime parler des mathématiques en évoquant leur beauté. Quand on l’écoute, on touche du doigt une discipline, construction purement humaine, qui touche à la philosophie et à l’art.

Né à Bruxelles en 1944, il commence ses études à l’ULB en 1962, y est vite repéré comme un étudiant exceptionnel et est envoyé à Paris. Il ne cessera ensuite de poursuivre ses recherches. Avec comme "tuteurs", des mathématiciens d’exception (Jacques Tits, Alexandre Grothendieck), il est nommé professeur à l’Institut des Hautes Etudes scientifiques à Paris, à 26 ans, avant de devenir professeur à l’Institute for Advanced Study of Princeton en 1984 où il se trouve toujours.

Frédéric Bourgeois, professeur à l’ULB, estime que sa grande force est "de pouvoir rentrer très rapidement dans un problème, de trouver sa logique et de poser des questions très justes sur des points très divers". Rencontre avec "notre autre prix Nobel".

Comment êtes-vous arrivés aux mathématiques ?

Mon frère avait sept ans de plus que moi et m’avait raconté l’équation du second degré, puis celle du troisième degré, je trouvais cela extraordinaire. Je n’étais pas très sociable et les mathématiques étaient une activité qu’on pouvait faire dans son coin. Chez les scouts, j’avais un ami dont le père était un professeur de mathématiques qui m’a prêté des livres difficiles mais intéressants. A l’ULB, j’ai suivi un séminaire de Jacques Tits et puis, tout s’est enchaîné rapidement. Après deux ans à l’ULB, mes professeurs m’ont conseillé de continuer à Paris.

Y a-t-il une beauté aux mathématiques ?

Bien sûr, tout y est esthétique. Et c’est la seule science où on est sûr que tout ce qu’on dit est vrai. Ce qu’on a démontré il y a 2 000 ans, reste vrai aujourd’hui. Ce sont des objets, peut-être inspirés par le monde extérieur, qui sont des constructions mentales. J’aime cet aspect de vérité absolue. Le mathématicien Hilbert disait que n’importe quel problème que l’on se pose, peut être résolu. J’aime étudier des objets relativement simples. La forme d’un nuage, par exemple, est déjà trop complexe.

En quoi est-ce beau ? Comme de l’art ?

On aime quand les énoncés sont simples. Et quand ils sont surprenants, reliant des choses qu’on ne croyait pas avant cela, être liées. Je trouve très beau qu’en géométrie, par exemple, les trois bissectrices d’un triangle passent par un même point et comment cela se démontre simplement. Ce sentiment de beauté peut ressembler à celui qu’on éprouve devant l’art, mais je n’essaie pas de faire ce type de lien. Beaucoup de mathématiciens sont sensibles à la musique, moi pas, je préfère un beau paysage ou une promenade dans la nature.

Il y a une part de jeu ?

Bien sûr. J’ai la chance extraordinaire que mon jeu préféré me permet de gagner ma vie ! Mais c’est un jeu comme les échecs (plus intéressant que les échecs) qui demande de la concentration et de l’obstination. On y crée sans cesse. Quand je pense à ce qu’on connaissait en mathématiques il y a vingt siècles et ce qu’on connaît maintenant, il y a des théories entières qui se sont rajoutées.

Mais quelle est l’utilité des mathématiques ? Surtout à leur niveau de sophistication où elles sont aujourd’hui.

Elles ne doivent pas se justifier autrement que par leur beauté. Parfois, heureusement, il y a des applications qui surgissent et qui permettent d’obtenir des subsides qui nous font vivre, ce sont des accidents heureux qui servent à nous donner de l’argent. Mais ce qui est vraiment utile est imprévisible. Les grandes applications sont nées sans qu’on le sache au moment des recherches. Si on essaie de canaliser la recherche en fonction des applications possibles, on perd beaucoup.

Le philosophe Derrida disait que la création implique qu’il n’y avait rien avant, même pas l’idée que cela surgisse.

Oui, sinon on l’aurait déjà trouvé. Les mathématiques forment une boîte à outils qui, parfois, servent rapidement, parfois pas, dans laquelle des disciplines comme la physique (la théorie des cordes aujourd’hui), le software, la gestion d’énormes systèmes de données en biologie ou en physique, les statistiques, le développement des ordinateurs, viennent puiser. En sens inverse, les mathématiciens sont attentifs à ce qui se passe dans d’autres disciplines et qui peut les inspirer.

Que signifie “comprendre” pour un mathématicien ?

Ce n’est pas simplement donner la bonne réponse. S’il vaut la peine de prouver quelque chose, il vaut la peine de la prouver une seconde fois. Une démonstration est un outil de compréhension. Comprendre, c’est voir à quoi le problème qu’on étudie peut se ramener, à des choses déjà comprises et voir comment cela peut donner un éclairage à de nouvelles questions. Résoudre une question grâce à la puissance d’un gros ordinateur, n’aide pas à comprendre. Comprendre, c’est placer sur un chemin à parcourir des pierres qui permettent de sauter de l’une à l’autre. Souvent ces pierres sont les bonnes définitions (comme les philosophes inventent des concepts), des clés qui permettent de mettre en branle un processus. La masse des choses est énorme mais on comprend parfois qu’elles sont identiques quand on les formule bien. Le mathématicien Herman Weyl disait qu’en poésie, on donnait des noms différents à une même chose alors qu’en mathématiques, on donne le même nom à des choses différentes.

Les mathématiques ont une réputation d’hermétisme ?

La reconnaissance sociale ne me manque pas. Je travaille d’abord pour moi, pour le plaisir de découvrir des choses et c’est agréable si d’autres, en me décernant des prix montrent qu’ils apprécient ce que je fais. La difficulté est qu’en mathématiques on ne peut pas "sauter" une étape. Elles forment une suite d’éléments à connaître depuis les travaux réalisés il y a 2 500 ans. Il y a un aspect cumulatif des connaissances. Et on ne voit pas la fin des mathématiques. André Weil disait dans les années 50 qu’il craignait qu’elles croulent sous l’abondance des recherches non intéressantes. Mais ensuite, il a dit le contraire estimant qu’on croulait plutôt sous l’abondance des recherches intéressantes. Je n’ai jamais enseigné car je n’y tenais pas, mais à Princeton, nous recevons beaucoup de visiteurs avec qui on échange et discute en prenant le thé. Les mathématiques sont un langage mondial, nous utilisons partout les mêmes critères.

Y a-t-il des écoles de mathématiques ?

Il faut longtemps pour développer une culture nationale et peu de temps pour la détruire. L’Allemagne avant les nazis était le centre du monde en mathématiques. Il a fallu attendre les années 70 pour que l’école allemande redevienne significative. La Russie, jusqu’aux années 90, était un des endroits les plus brillants pour les mathématiques mais les meilleurs ont émigré et ceux qui restent doivent trouver ailleurs de quoi vivre, car là, un salaire d’enseignant de 500 euros par mois est déjà un bon salaire ! Pourtant le système scolaire russe continue à produire d’excellents mathématiciens. A Princeton, on entend souvent parler russe. En Belgique, il y a de bons mathématiciens (il y a deux Belges à Princeton), mais la Belgique exerce sur eux un carcan dommageable en tentant de fixer à l’avance l’objet de leurs recherches.

On dit que la création en mathématiques est surtout l’affaire de très jeunes chercheurs ?

Sans doute pour innover vraiment, faut-il ne pas trop savoir. Cela rend humble les plus anciens. L’expérience accumulée gêne peut-être la production d’idées totalement neuves. Mais je signalerai quand même que le grand mathématicien Israïl Moiseevich Gelfand est mort en 2009, à 96 ans et fut créatif presque jusqu’à sa mort. »

Guy Duplat, La Libre, 8 mai 2010